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重积分计算的新方法

二重积分的几何意义

微积分的应用参考文献

微积分历史发展进程OO

重积分计算的新方法

1、对重积分应用的一些想法 王烁正阳，P在第二学期微积分的学习中，一个很重要的变化就是“多元化”，无论是函数的微分，积分以及场论乃至后面的级数，无不体现了多元这一特点，正所谓从1到2是质变，从2到3只是量变。而在学习的这些有关多变量的知识之中，重积分，尤其是它的应用给我留下了很深刻的印象。本文将重点结合一些实例，对重积分应用中曲面的面积做一些补充，着重总结一下重积分在物理学中的应用，最后简单引申一点重积分在生活实际中的应用。目的在于帮助读者尤其是各位同学，加深对重积分的了解，回顾一下所学过的知识，并能在这之中得到一些启发。

2、在我们的学习中，重积分的一个很重要的应用就是曲面面积。在上学期的学习中，我们已经知道了普通积分代表的是平面面积，所以我们不难提出这样的问题：非平面的面积如何计算？也就使人们想要把定积分的元素法推广到二重积分的应用中，并用此方法来解决曲面面积的问题，既若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域da时，相应地部分量可近似地表示为f(x,y)da的形式,其中(x,y)在da,内这个f(x,y)da称为所求量U的元素，记为du.，从而有了这之后用此来表示曲面面积元。对于多重积分表示曲面面积的推导，书上已经写的很详细，这里再提供另一种想法

3、所以 设曲面S的方程为z(f(x( y)( f(x( y)在区域D上具有连续偏导数(设dA为曲面上点M处的面积元素(dA在xOy平面上的投影为小闭区域d((点M

二重积分的几何意义

1、在微积分中有两大重要计算——微分和积分两种运算，是数学学科中非常经典的互逆运算.在一元函数积分的学习过程中可以了解到，定积分是某种确定形式的和的极限，把这种和式的极限的思想推广到定义在区域上多元函数的情况，就得到重积分.

2、二重积分表示一种类型和式的极限Df（x，y）dσ=limλ→0∑ni=1f（ζi，ηi）Δσi，三重积分表示ωf（x，y，z）dV=limλ→0∑ni=1f（ζi，ηi，ξi）Δvi，其值均取决于被积函数的对应规则和积分区域，而与积分变量的记号无关.连续是可积的充分条件.

3、设D为Rn中可求得体积的有界闭区域.f（X）是在D上有定义的函数.将D分割成互相没有公共内点的任意N个可求得体积的闭子域D1，D2，…，DN，记此分划为Δ，以‖Δ‖表示诸Di的直径中最大者，称之为此分划的模数.任取点Xi∈Di，i=1，…，N，作和数∑Ni=1f（Xi）V（Di）.如果当‖Δ‖→0时，上述和数的极限存在，我们就说函数f（X）于闭区域D上可积，且称该极限值为f（X）在D上的（n重）积分，记为∫Df（X）dV或∫Df（X）dX或∫D…∫f（x1，…，xn）dx1…dxn，其中f（X）称为被积函数，D为积分区域.

4、例如，用寻常方法解答上题：令x=rcosθ，y=rsinθ，其中0≤r≤R，θ≤r≤2π.则DR2-x2-y2dxdy=∫R0∫2π0（R2-r2）·rdrdθ=23πR

微积分的应用参考文献

1、什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，OO飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，OO每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念

2、如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。

3、从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287—前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。圆的面积就是无穷多个三角形面积之和，这些都可视为典型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。

4、17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系。到了17世纪下半叶，在前人创造性研究的基础上，英国大数学家、物理学家艾萨克·牛顿（1642－1727）是从物理学的角度研究微积分的，他为了解决运动问题，创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术”的理论，这实际上就是微积分理论。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。这些概念是力学概念的数学反映。牛顿认为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的固变量作为流量，不仅这样，他还把几何图形——线、角、体，都看作力学位移的结果。因而，一切变量都是流量。

微积分历史发展进程OO

1、微积分的发展史OO摘要：本篇OO主要介绍微积分的发展史，主要是萌芽创建及微积分学的一些基本概念。关键字：微积分 萌芽 牛顿 流数术 莱布尼茨 建立引言：微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。微积分学在科学、经济学和工程学领域被广泛的应用，来解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的基础上建立起来，并包括微分学、积分学两大分支。毫无疑问，微积分的发现是世界近代科学的开端。

2、一）微积分学的萌芽微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。古希腊时期就有求特殊图形面积的研究；用的是穷尽的方法。阿基米德（Archimedes）用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积；这些都是穷尽法的古典例子。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。

3、中国古代对微积分的贡献微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。 南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的“大衍求一术”??增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早500多年。特别是13世纪40年代毕业OOhttp://www.751com.cn/? OO网http://www.lwfree.com/乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术OO和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大OO，封建统治的文化OO和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。之前，公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。

4、世界近代微积分的酝酿到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。以下介绍笛卡尔和费马的两种不同思想方法。??? （1）笛卡儿求切线的“圆法”。????????? 法国数学家笛卡儿用代数方法（即圆法）求出了曲线在其上某一点处的切线方程。??? 笛卡儿求曲线y=f（x）过点P（x，f（x））的切线斜率的“圆法”是：（如图）过C点（曲线在点P处的法线与x轴的交点）作半径为r=CP的圆C： 。因CP是曲线y=f（x）在P点的法线，则P应是曲线与圆C的“重交点”。若 是多项式函数，有重交点就相当于方程 有重根x=e，从而 ，比较系数得v与e的关系，代入e=x，便得过P点的切线斜率 。??? 以 为例。点 。设???? ，经特定系数法得知：???? 。??? 故切线斜率 。笛卡尔的代数方OO是后来求切线方法的雏形，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分道路的。（2）费马求极值的代数方法。1300