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图论及其算法

数学模型教程

大学人文基础

图论及其算法

1、图分为有向图和无向图，其中无向图可以视为有向图的特例，因为无向图可视作两个点之间存在两条方向相反的边。 在OOtlab中主要使用矩阵进行图的描述，其中最常用的还是邻接矩阵和关联矩阵，这两种表示方式是等价的，只是角度不同。 这两个矩阵的具体定义网上都有很多，这里就不具体列出来，只谈谈我的理解。 邻接矩阵是一个方阵（行数=列数），矩阵的行和列的含义都是顶点。对于无向图，如果顶点vi和vj有边相连，则邻接矩阵的A（i，j）和A（i，j）都是1，反之为零；对于有向图，如果有边从顶点vi指向顶点vj，那么A（i，j）为1。 图1 如图1，是一个具有四个顶点的图，那么邻接矩阵是一个4*4的方阵 通过OOtlab描述该图如下

2、关联矩阵是一个m*n的矩阵，m（行数）的含义是顶点数，n（列数）的含义是边数，相对来说，关联矩阵表达的内容更丰富，但邻接矩阵更容易通过图得到，各有优缺点。如果边ej的起点是vi,那么关联矩阵、M（i，j）为1，如果vi是ej的端点但不是起点（不是终点，之所以这样说是考虑到无向图，因为无向图虽然既是起点也是终点，但关联矩阵中不考虑边的终点，为了防止前后矛盾）,那么关联矩阵、M（i，j）为-1，其他为0，当然了，对于无向图，因为一条无向边可以看作两条方向相反的有向边，所以对于ej的两个端点都看作边ej的起点，都为1。 图2 图2的关联矩阵用OOtlab描述如下

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1、总学时：32学时适用专业：本科理工类、经济类各专业选用教材：姜启源 编《数学模型》（第二版）高教出版社出版基本内容和要求(一) 数学建模的步骤、原理和方法： 了解数学建模的意义； 了解建立数学模型的基本知识、相关的基本概念； 掌握数学建模过程的几个明显的处理阶段和流程； 通过实例了解数学模型的特点和学习方法； 了解全国大学生数学建模竞赛。(二) 掌握数学建模思想方法：数学建模概述对现实问题的分析、提练、描述几种创造性思维方法合理假设与信息处理建立数学模型数学软件与模型求解结果分析与灵敏度分析模型的评价与推广OO摘要(三) 数学方法分类建模 初等数学方法建模； 线性规划法建模； 非线性规划法建模 微分方程建模； 层次分析法适用的建模问题和处理方法； 图论方法建模； 概率分布方法建模。(四) 掌握一些特殊模型： 运输问题模型； 经济决策模型； 综合评判模型； 捕鱼业的持续收入； 几种图论模型； 效益的合理分配；(五) 数学建模OO的写作： 知道数学建模竞赛的规则及OO的评阅办法； 掌握数学建模OO的几个基本模块的数学方法。学时分配建议表 序号 内 容 学时数 （一）（二）（三）（四）（五）（六）（七）（八）（九）（十）（十一）（十二）（十三）（十四）（十五）（十六） 建立数学模型的基本知识数学建模思想方法（一）数学建模思想方法（二）合理假设与数据处理线性规划方法建模线性规划求解方法非线性规划建模非线性规划求解方法微分方程建模差分方法建模层次分析法建模图论方法建模概率分布方法建模数学建模OO的写作专题建模剖析（二）数学软件应用 222222222222222 总计 32 说明(一) 本大纲根据我校的实际情况制定。(二) 课程类型：全校选修课。(三) 总则：本课程系统地介绍数学模型、数学建模和建模过程中的一些常用方法及数学建模实例，通过课堂教学和讨论，使学生了解数学建模的特性及建模的基本方法，并初步具备对实际问题如何建模的能力以及培养良好的思考习惯和归纳分析能力，使学生在应用数学知识解决实际问题的能力有所提高。学习本课程的大部分内容只需要大学的微积分、线性代数、概率论等基本数学知识。(四) 教学目的及要求：逐步培养学生利用数学工具解决实际问题的能力。能够将实际问题“翻译”为数学语言，并予以求解，再解释实际现象，甚至应用于实际。最终提高学生的数学素质和应用数学知识解决实际问题的能力。(五) 教学重点：对实际问题的分析；模型的合理假设；数学工具的恰当应用；模型的建立；模型的求解；模型结果的合理解释；模型的应用；(六) 教学难点：对实际问题的分析；模型的合理假设；数学工具的恰当应用；模型结果的合理解释与模型的应用；(七) 主要教学环节的组织：循序渐进的介入数学建模的思想，由简入难的介绍各类数学模型；强化数学与计算机等其他工具的结合；对于一些重点教学环节，在突出对数学方法的同时，要重点讲述数学方法与实际问题的一些必然的关联性，使学生更具体的认识数学。对某些章节用到的不常用数学方法，予以简单而有目的的介绍。(八) 大纲中教学基本要求从高到底分为理论部分：深入理解、一般理解、了解；运算部分：熟练掌握、一般掌握、知道。

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1、全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一，由OOO高等教育司和中国工业与应用数学学会联合主办。2014年全国大学生数学建模竞赛将于2014年9月13日（周五）上午8：00至9月16日（周一）上午8：00（共3天，72小时）OO。

2、??? 说明：这一阶段主要是通过大量建模相关基础知识和内容的讲解使参训学生培养和形成如下能力：①比较系统地掌握数据建模常用基础知识；②建立数学模型和求解数学模型的能力，③编写程序的能力和数学软件的使用能力；④自学能力、领悟能力以及查阅和收集资料的能力。

3、??????? 说明：按照正式比赛要求的格式和规范完成两次模拟，加强队员之间团结协作共同解决问题的能力，进一步训练学生综合解决问题的能力，使学生熟悉竞赛规程。通过结果的评析对各队存在的主要问题进行诊断。

4、特别注意：想要参加2014全国大学生数学建模竞赛的学生、必须参加暑假培训（2013年已参加全国赛的同学至少要参加第一次模拟训练），以第一次模拟成绩决定报名参赛名单。