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1、【摘 要】微积分是微分学(DifferentialCalculus)和积分学(IntegralCalculus)的统称,英文简称Calculus.在微积分的创立上,牛顿和莱布尼茨是要共享这一份荣誉的.早期微积分主要用于天文学,力学,几何学的计算问题.后来人们也将微积分学称为分析学(Analysis),或简称无穷小分析,专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问.在应用微积分解决问题时主要应用于几何学、物理學等.
1、微积分作为一门学科,是在十七世纪产生的。它的主要内容包括两部分:微分学和积分学。然而早在古代微分和积分的思想就已经产生了。公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积等问题中,就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说,早在古代就有了比较清楚的论述。
2、十七世纪的许多著名的数学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作。十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。 在创立微积分方面,莱布尼茨与牛顿功绩相当。 他们总结出处理各种有关问题的一般方法,认识到求积问题与切线问题互逆的特征,并揭示出微分学与积分学之间的本质联系。为以后的微积分学的发展奠定了坚实重要的基础。
3、微积分为创立许多新的学科提供了源泉。它给出一整套的科学方法,开创了科学的新OO,加强与加深了数学的作用。微积分的产生不仅具有伟大的科学意义,而且具有深远的社会影响。有了微积分,就有了工业OO,也就有了现代化的社会。在微积分的帮助下,万有引力定律发现了。微积分学强有力地证明了宇宙的数学设计,摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。这一切都表明微积分学的产生是人类认识史上的一次空前的飞跃。 微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎,同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展,并在这些学科中有着越来越广泛的应用。
1、微积分的发展史OO摘要:本篇OO主要介绍微积分的发展史,主要是萌芽创建及微积分学的一些基本概念。关键字:微积分 萌芽 牛顿 流数术 莱布尼茨 建立引言:微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。微积分学在科学、经济学和工程学领域被广泛的应用,来解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的基础上建立起来,并包括微分学、积分学两大分支。毫无疑问,微积分的发现是世界近代科学的开端。
2、一)微积分学的萌芽微积分的产生一般分为三个阶段:极限概念;求积的无限小方法;积分与微分的互逆关系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作,欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。古希腊时期就有求特殊图形面积的研究;用的是穷尽的方法。阿基米德(Archimedes)用内接正多边形的周长来穷尽圆周长,而求得圆周率愈来愈好的近似值,也用一连串的三角形来填充抛物线的图形,以求得其面积;这些都是穷尽法的古典例子。对于这方面的工作,古代中国毫不逊色于西方,微积分思想在古代中国早有萌芽,甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想;公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小(最小无内)、无穷大(最大无外)的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积,求得圆周率约等于3 .1416,他的极限思想和无穷小方法,是世界古代极限思想的深刻体现。
3、中国古代对微积分的贡献微积分思想虽然可追朔古希腊,但它的概念和法则却是16世纪下半叶,开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。 南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷,创举世闻名的“大衍求一术”??增乘开方法解任意次数字(高次)方程近似解,比西方早500多年。特别是13世纪40年代毕业OOhttp://www.751com.cn/? OO网http://www.lwfree.com/乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”(一次同余式组解法)、“垛积术”(高阶等差级数求和)、“招差术”(高次差内差法)、“天元术”(数字高次方程一般解法)、“四元术”(四元高次方程组解法)、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术OO和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果,中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作,其中许多都是微积分得以创立的关键。中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件,已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后,八股取士制造成了学术上的大OO,封建统治的文化OO和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落,在微积分创立的最关键一步落伍了。之前,公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想;公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小(最小无内)、无穷大(最大无外)的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积,求得圆周率约等于3 .1416,他的极限思想和无穷小方法,是世界古代极限思想的深刻体现。
4、世界近代微积分的酝酿到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来,大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题)。以下介绍笛卡尔和费马的两种不同思想方法。??? (1)笛卡儿求切线的“圆法”。????????? 法国数学家笛卡儿用代数方法(即圆法)求出了曲线在其上某一点处的切线方程。??? 笛卡儿求曲线y=f(x)过点P(x,f(x))的切线斜率的“圆法”是:(如图)过C点(曲线在点P处的法线与x轴的交点)作半径为r=CP的圆C: 。因CP是曲线y=f(x)在P点的法线,则P应是曲线与圆C的“重交点”。若 是多项式函数,有重交点就相当于方程 有重根x=e,从而 ,比较系数得v与e的关系,代入e=x,便得过P点的切线斜率 。??? 以 为例。点 。设???? ,经特定系数法得知:???? 。??? 故切线斜率 。笛卡尔的代数方OO是后来求切线方法的雏形,牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分道路的。(2)费马求极值的代数方法。1300
1、牛顿在其1665年5月20日的一份手稿中已有微积分的记载。在这份手稿中,牛顿引进了一种带双点的字母,它相当于导数的齐次形式。因此,有人将这一日作为微积分的光荣诞生日。事实上,牛顿对微积分的研究以运动学为背景开始于1664年秋,就在这一年,牛顿已经对微积分有了较为清楚的认识。
2、1665年夏至1667年春。牛顿在家乡躲避瘟疫期间,对微积分的研究取得了突破性进展。据牛顿自述,1665年11月,他发明正流数术(微分法),次年5月建立反流数术(积分法)。1666年10月,牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性OO——《流数简论》,这也是历史上第一篇系统的微积分文献,标志着微积分的诞生。在以后20余年的时间里,牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说,先后完成三篇微积分OO:《运用无穷多项方程的分析学》(简称《分析学》,1669年)、《流数法与无穷级数》(简称《流数法》,1671年)、《曲线求积术》(简称《求积术》,1691年)。它们反映了牛顿微积分学说的发展过程。然而牛顿的这些有关微积分的OO并没有及时公开发表,他的微积分学说的公开表述最早出现在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》一书中。因此,《原理》也成为数学史上的划时代著作。
3、牛顿对自己的科学著作的发表。态度非常谨慎,他的最成熟的微积分著述《曲线求积术》直到1704年才以《光学》的附录形式发表,其他的OO发表得更晚,《分析学》在牛顿去世后才公开发表。
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