团论文网
团论文网
-
摘要：平面几何教学是初中数学中的一个难点。文章以“一线三等角”这个基本图形为载体，在教学过程中让学生概括、提炼、分离基本图形，构造基本图形，反思解决问题的过程，使学生在解决问题的过程中能自发地抓住问题的本质，将复杂问题简单化，最终内化成学生自身的数学核心素养。
关键词：平面几何；基本图形；数学核心素养
张奠宙认为数学核心素养包括“真、善、美”三个维度。其中“善”这个维度通常可以理解为具备用数学思想方法分析和解决实际问题的基本能力。在平时的几何教学中，往往会遇到学生“懂而不会，会却不对，对又不会融会贯通”的问题，这主要因为学生缺乏数学思想方法，不会对自己所做过的题型或图形进行归纳和总结。
一、教学分析
在解平面几何问题时，若能引导学生从基本图形入手，将题中复杂图形分解成基本图形，然后充分利用它的性质与关系进行思考，再复杂的问题都能迎刃而解。
一个平面几何图形分解成若干个基本图形的过程，学生需要掌握提取、分离、构造等基本方法，挖掘出基本图形，利用这些基本图形的性质与关系进行思考并解决问题。笔者将基本图形提取的模式归纳为以下三步：
一是根据问题的条件、图形的特征，提取基本图形；二是观察图形，有基本图形的部分特征，通过添加辅助线，补全基本图形；三是利用基本图形的性质去解决问题。
二、教学实践
（一）追本溯源，挖本质，概括基本图形
徐利治先生提出，直观就是借助经验、观察、类比联想等方式所产生的对事物关系直接的感知与认识。我们知道复杂的几何图形，往往是由一些基本图形组成，学生若能透过现象看到本质，清晰地了解和掌握一些基本图形的结构及性质，就如同拥有一把打开解决问题的“金钥匙”。作为教师，在教学过程中应帮助学生不断梳理、提炼和总结一些基本图形。
活动1：（1）如图1，在正方形ABCD中，P是BC边上的一点，且∠EPD=90度，则△EBP和△PCD有什么关系？
（2）如图2，在正三角形中，∠EPD=60°,则△EBP和△PCD有什么关系？
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=70°,∠C=110°,点E，P分别在线段AB，BC上，且∠EPD=110°,则△EBP和△PCD有什么关系？活动2：追问：你能否发现在这些图形中，有一些有共同特征的图形，他们有什么共同特征？
设计说明：三道习题是学生在已有的知识基础上能够解决的问题，且三个问题的呈现提供了同类相似三角形。从“一线三等角”的特殊情况，即：三个角都是直角，并且三个点在同一条直线上所形成的基本图形，到三个角都是60度角，再到三个角是110度角。最后到三个角都是一般角，结论仍然成立。并且从习题1到习题3，通过从正方形到正三角形再到一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，改变了具体的图形背景，让学生考虑在图形的变化过程中结论是否会发生改变？以便在运动变化中突出图形体现的特殊特征。通过从特殊到一般的层层推进，学生一开始就能在稍复杂的图形中去感受“一线三等角”这个基本模型，使学生的“直观经验”由“量”变产生“质”变。
从习题组引入本专题，使学生对产生模型有个感性的认识，从而激发学生的思考，让学生感受到数学的学习是从薄到厚，又是从厚到薄的过程。
学生通过口述证明过程，比较结论，师生共同归纳。
一线三等角的概念：指三个等角的顶点在同一直线上。即两个相等的角一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。若有第三个与之相等的角的顶点在该直线上，角的两边（或两边所在的直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在的直线）相交。通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，这组相似三角形习惯上称为“一线三等角型”。
一线三等角模型：点C在线段BD上，锐角一线三等角，直角一线三等角，钝角一线三等角模型需要具备的条件可以表述为：如图，点C在边BD上，∠B=∠ACE=∠D（无论是锐角、直角或钝角）得出结论：ΔABC∽ΔCDE
（二）由繁到简，勤提炼，分离基本图形
很多复杂的几何题往往由几个基本图形组成，把图形的复杂化，干扰学生的分析。因而，拿到题后首先要认真观察、分析图形，并进行适当分解，找出它由哪些基本图形组成。然后运用基本图形的性质去推理或计算，从而使问题得以解决。但是很多时候在复杂图形下学生往往不能很快识别出模式图形。这说明在习题教学过程中，教师的教学重点和难点是如何引导学生发现、分离、捕捉基本图形上。如在活动3中笔者是这样设置教学环节的。
活动3：如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=分别交x轴、y轴于B、A两点，直线AE分别交x轴、y轴于E、A两点，D是x轴上的一点，OA=OD，过D作CD丄x轴交AE于C，连接B C，当动点B在线段OD上运动（不与点O点D重合）且AB丄BC时，求线段CD的长（用a的代数式表示）；
为了解决该问题，笔者按以下教学开展的。问：本题中有什么特殊的条件？
答1：∠AOB=∠ABC=∠CDE=90°答2：O，B，D三点在同一条直线上，
追问：将这两个条件组合起来，你有何新的发现，有特殊的图形吗？
答3：有，发现了一线三等角基本图形
设计说明：本题是一次函数背景下的一线三等角模型。本题考查了一次函数和相似三角形的判定和性质，并利用相似中的线段成比例来解决问题。本题的原题在设置时并不是直接求线段CD的长，而是设置了一个前置问题——求证：ΔABO~ΔBCD。如有第一小题的设置，学生在解决求线段CD的长时将变得简单多了。当去掉了第一小题，直接进入第二小题时，部分学生会遇到困难，不能马上想到利用三角形相似线段成比例来解决问题。如果学生能够掌握“一线三等角”这个基本图形的特征，并能够很快在复杂的图形中挖掘出基本图形，那么问题解决就方便多了。所以，为了能引导学生去发现、捕捉、分离基本图形，笔者设计了一系列环环相扣的提问，通过有针对性的追问，使学生在面对复杂图形，都能自主地对题目进行抽丝剥茧，将一个看似繁琐的几何图形拆成几个基本的简单图形，学生在解决几何证明问题时就能游刃有余。
（三）由隐到显，活运用，构造基本图形
构造几何基本图形是解决几何问题的常用方法。在有些几何命题中，隐藏着一些基本图形的一部分，造成基本图形不容易找到，我们要善于发现这些基本图形的“影子”，联想到相关图形，通过添加辅助线等方法，构造基本图形，然后再利用基本图形的性质去求解。活动4：已知∠A=∠GEF==90°,AB=10,BF=4,∠B=60°,设AE=x,AG=y,求y与x的函数关系式？
该题的设置是为了培养学生在复杂图形中能够利用“一线三等角”的部分特征构造，从而利用相似比、解方程来解决问题。笔者是这样来开展教学的：
问：本题中有什么特殊的条件？
答1：∠A=∠GEF=90。答2：点A，点E，两点在同一条直线上
追问1：将这两个条件结合在一起，你有什么特殊的发现吗？你觉得还缺少什么条件？
答3：这是“一线三等角”模型的一部分，还少一个角等于90度
追问2：那怎么办？答4：再构造一个角等于90度
追问3：怎么构造？在哪构造？答5：可以过点F作FH垂直AB于点H
活动5：四边形ABCD中，AB平行于CD，∠A=90度，∠B=120度，AD=，AB=6。在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120度，若射线EF经过点C，求AE的长？
设计说明：本题是2012年浙江省丽水市初中毕业生学业考试中的一道填空题。当我们熟识了“一线三等角”这个基本图形并且在解答完活动4之后，学生会受到一些启发。仔细观察本题中的图形，不难发现，在本题的条件中，有∠B=∠DEF=120。,且点B和点E又在同一条直线上，很明显，题目中有“一线三等角”这个基本图形的一部分，这时我们就可以根据基本图形的特征作∠DGE=120。，点B，E，G三点共线，此时就有∠DGE=∠DEC=∠EBC=120°,满足“一线三等角”的特征，将本题中的图形补成一个完整的“一线三等角”形式（如上图）。
三、教学思考
（一）改变背景，积累经验
在该课的设计中，笔者一开始就以一组习题出现，学生从这组习题中去分解出“一线三等角”这个基本模型。而在之后的教学设计中，笔者以题组的方式将“一线三等角”在正方形、矩形、等腰三角形，圆，坐标系为背景下再次呈现。在教学过程中，尽可能多地展示各种不同背景下的题型。通过一系列题组使学生加以理解，学会灵活运用，解决问题。
（二）回顾反思，内化能力
《2022年数学课程标准》中对于空间观念这个学习领域的要求之一是能从复杂的图形中分解出基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系，能由基本图形的性质导出较复杂图形的性质。文章从如何理解基本图形，如何挖掘基本图形、如何分离基本图形，再到如何构造基本图形，在一系列问题解决的过程中再一次让学生体会到基本图形的重要性，并渗透了重要的数学思想。“授人以鱼，不如授人以渔。”在几何习题课中基本图形就是“渔”，教师在几何复习课的教学过程中，需要注重：一是引导学生发现共性归纳基本图形；二是引导学生积累方法提炼基本图形；三是启发学生自主添线构造基本图形；四是留给学生足够思考的时间和空间，进行自我建构。
四、结语
“曲径通幽处，禅房花木深”。其中蕴含的道理在数学解题方面同样适用。在学习数学的过程中，面对许多复杂的几何问题时，光靠几堂复习课是很难解决。在问题解决的过程中，学生若能拥有一双解决问题的“慧眼”；有一颗解决问题的“热心”；有一些“解决问题”的突发奇想，巧妙利用基本图形，去扣住几何问题的本质属性，那么，解法自然生成。学生就能跟随“基本图形”的“脚步”游刃有余地穿过幽深的小径找到答案。后台-系统设置-扩展变量-手机广告位-内容正文底部 -
本文标签：
曲径通幽处解法自然生—以“一线三等角”微专题教学为例论文
人参与 2024-07-25 10:34:25 分类 : 教育论文 点这评论 作者：团论文网 来源：https://www.tuanlunwen.com/
-
站内搜索
-
随机文章
-
标签列表
-
-
最近发表
-
-
热门文章 | 最新文章 | 随机文章
-
-
最新留言
-
首页 论文知识 教育论文 毕业论文 教学论文 经济学 管理学 职称论文 法学 理学 医学 社会学 物理学 文献 工程论文 学位论文 研究论文
Powered 团论文网 版权所有 备案号：鄂ICP备2022005557号统计代码
全站搜索