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摘要：混沌系统的构造和图像加密是相互联系、相互独立的研究方向，同时也是当前混沌系统的研究热点。在Sprott-I混沌系统中引入绝对值忆阻器，构造了一个新的忆阻混沌系统。受忆阻器强非线性的影响，新系统的平衡点变为了一条线平衡点集，表现出了更丰富的动力学特性。通过MATLAB仿真分析了该系统的Lyapunov指数、耗散性、分岔图等动力学特征，结果表明新系统不但能产生依赖系统参数变化的混沌吸引子和周期极限环的常规现象，而且能够产生恒Lyapunov指数以及依赖于初始条件变化的分岔图偏移以及无限多吸引子共存的超级多稳态的特殊动力学现象。最后，考虑到系统在引入忆阻器后出现的超级多稳态现象，能够产生鲁棒性更好的伪随机序列，因此将该系统和DNA编码结合引入到电力图像加密中，在MATLAB平台上进行安全分析实验结果表明，该算法具有良好的加密效果。
关键词：超级多稳态；恒Lyapunov指数；平衡点稳定性；忆阻混沌系统；图像加密
0引言
混沌是非线性动力学系统所特有的运动形式。自20世纪90年代以来，混沌与其他学科相互促进、相互发展，如基于混沌的图像加密[1-3]、混沌神经网络[4-6]、混沌同步控制等[7-9]。不同领域对混沌的要求应用也不同并且在不断地发展，人们在已有的混沌系统基础上构造出新的混沌系统，其中就包括引入忆阻器拓展新混沌系统。1971年蔡少棠教授首次提出忆阻器的概念，反映了磁通量与电荷的关系[10]。由于忆阻器具有良好的非线性，将其作为非线性项引入混沌系统中，能够产生复杂的动力学现象，引发了学者们的广泛关注。例如：全旭等[11]使用忆阻器构造了具有旋转共存吸引子的混沌系统。Wan等[12]利用忆阻器构造了一个具有无限多共存隐藏吸引子现象的混沌系统。李晓霞等[13]使用忆阻器构造了一个具有无穷多共存吸引子的忆阻混沌系统。Lai等[14]使用忆阻器替代三维混沌系统的耦合参数，构建了具有超级多稳态的忆阻混沌系统。由于混沌本身固有的随机性和对初值的极端敏感性，将其使用在图像加密中具有天然的优势。
随着科技的发展，数字图像因其具备直观、形象等特点已然成为人们获取信息来源的重要手段之一，在电力系统、法律事务、医学、经济等领域具有广泛应用。如：电力图像、企业数据等，需要可靠的加密技术。解决数字图像安全的首选方案就是图像加密，它是密码学在数字信息中的新应用，是一个新的研究领域。图像加密主要分为像素值扩散和图像位置置乱，许多加密方法同时采用这两种方法进行加密。由于混沌系统对初值和控制参数敏感，因此可以将其应用到图像加密中。肖嵩等[15]改进了无限折叠混沌映射结合哈希算法生成密钥，随后利用Hilbert置乱后的进行DNA编码，最后利用混沌序列进一步完成加密。Wang等[16]提出了一种结合压缩感知和DNA编码的四翼超混沌的图像加密方案。该方案将Kronecker积与混沌系统相结合，产生测量矩阵，利用Kronecker积将低维种子矩阵拓展到高维，并使用混沌系统产生的混沌序列控制DNA编码。颜闽秀等[17]利用所构建的混沌系统产生的混沌序列对图像进行置乱和扩散。
本文将绝对值忆阻器引入到Sprott-I混沌系统中，构建了一个新的四维忆阻混沌系统，利用数值仿真手段对该系统进行分析，结果表明新系统不仅具有恒定Lyapu‐nov指数，还存在依赖初始条件变化的分岔图偏移现象以及超级多稳态现象。最后，将该系统应用到电力图像加密，实验发现，该系统具有良好的图像加密效果，能够有效地保证数字图像安全。
1忆阻混沌系统模型的建立
1.1系统模型
本文采用的忆阻器为磁控忆阻器[18]，其模型为：
式中：i为流过忆阻两端电流；v为忆阻两端电压；φ为忆阻器内部磁通；m、n为忆阻器内部参数；W(φ)为忆导函数。
原系统为三维的Sprott-I混沌系统[19]，该系统结构简单，其状态方程为：
式中：x、y、z为系统状态变量。
分析系统（2）发现，该系统只具有1个平衡点，并且当取特定的初值时，系统（2）能够显示一个单涡卷吸引子。
在系统（2）的第二个方程中引入忆阻器，构建了一个新的四维忆阻混沌系统，其状态方程为：
式中：x、y、z、w分别表示系统状态变量；a、b、c均为系统控制参数；k为忆阻强度。
选取系统参数a=3、b=5、c=4、k=1、m=0.5、n=0.2，初始条件为（1，1，1，1）时，通过数值仿真得到的相图与时间序列图如图1所示。由Wolf算法[20]计算相应的4个Lyapunov指数分别为LE1=0.209 1，LE2=0.0036，LE3=-0.007 2，LE4=-4.2054。显然，系统（3）的最大Lyapunov指数大于0且Lyapunov维数DL=3.048 9，说明该系统的吸引子是具有分形结构的混沌吸引子。
系统（3）在x=0截面和z=0截面上的庞加莱映射分别如图2（a）和图2（b）所示。从图中可以看到庞加莱映射呈现几何分形结构，说明系统（3）是混沌的并具有丰富的动力学特性。
1.2耗散性
系统（3）的耗散度为：
由于所取参数c均为正实数，因此∇V<0，表明系统（3）是耗散的，并以指数dV/dt=e-c的形式收敛，最终所有轨迹收缩到一个体积为0的子集中，也说明该系统是有界的。
1.3平衡点及其稳定性
令x.=y.=z.=w.=0得到系统（3）的平衡点S为：
S=(0,0,0,η)（5）
式中：η为任意实数。
因此，系统（3）具有一个线平衡点。在平衡点S处线性化系统（3），得到该系统的雅可比矩阵为：
其中W(η)=m-n|η|。
平衡点S的特征多项式方程为：
P(λ)=λ[λ3+p 1λ2+p2λ+p3]（7）
三次多项式的系数为：
式（8）表明雅可比矩阵JS具有1个零特征根和3个非零特征根，将a=3、b=5、c=4、k=1、m=0.5、n=0.2代入式（7），根据Routh-Hurwitz判据可得系统（3）的线平衡点稳定条件为：
当系统（3）参数满足|η|<21.25时，系统平衡点是稳定的，当|η|>21.25时，系统平衡点是不稳定的，此时系统表现出周期或者混沌状态。
2依赖于参数和初值的动力学特性
2.1系统参数的动力学特性
系统参数的改变会导致混沌系统出现不同动力学行为，依次选择a、b作为可变参数，通过分岔图、Lyapu‐nov指数谱等分析系统（3）的动力学特性。
首先选择a作为可变参数，固定参数b=5，c=3.5，k=2.5，m=0.5，n=0.2，设置初值为（1，1，1，3），状态变量x随参数a变化的分岔图和Lyapunov指数谱如图3所示。从图中可以看到，系统由最初的周期状态通过倍周期分岔进入混沌状态，在a=3.83附近，系统发生切分岔由混沌状态突然变为周期状态，最后当a=4.46时，系统由周期状态突变为混沌状态。当a取不同的离散值时，系统吸引子在x-y平面的运动状态发生变化，如图4所示。
其次选择b作为可变参数，固定参数a=2、c=4、k=2、m=0.5、n=0.2，设置初值为（2，1，1，2），状态变量x随参数b变化的分岔图与Lyapunov指数谱如图5所示。
2.2恒Lyapunov指数
恒定Lyapunov指数是指当系统参数或初始条件在一定范围内变化时Lyapunov指数保持不变的一种现象，固定参数a=4.5、b=5、c=4、k=3、m=0.2、n=0.2，设置初始条(1，y(0)，1，2)，当y(0)在区间[-10，10]内变化时，系统状态变量x的分岔图与Lyapunov指数谱如图6所示，从图6(a)中可以看出该系统一直处于混沌状态，在图6(b)中观察到随着y(0)的增大，系统的Lyapunov指数保持恒定，这说明系统在给定的范围内具有持续的混沌现象即鲁棒混沌状态。因此，可以将其应用到基于混沌的安全通信中。
2.3依赖于初值的超级多稳态现象
固定参数a=3、b=5、c=4、k=0.2、m=0.5、=0.2，设置x(0)=1、y(0)=1、z(0)=3r，而忆阻初始条件w（0）在[-80，80]内变化。当w（0）从-80~80逐渐增大时，绘制状态变量x的分岔图与Lyapunov指数谱如图7所示。从图7（a）中看到，分岔图基本呈现对称态，并且系统由周期经倍周期分岔进入混沌状态，随后经过反周期分岔，再一次变为周期状态。考虑若干正值和负值忆阻初始条件，当w（0）分别设置-75、-55、-35、-17、-5、5、15、35、55、75时，共存多吸引子在y-w平面和y-x-w空间中的相轨图分别如图8（a）、（b）所示。其中，不同颜色的运行轨道对应不同的动力学行为，分别为：w（0）=-75红色（周期1）、w（0）=-55蓝色（周期1）、w（0）=-35绿色（周期1）、w（0）=-17黑色（周期4）、w（0）=-5浅蓝色（混沌）、w（0）=5粉红色（混沌）、w（0）=15黄色（周期2）、w（0）=35深蓝色（周期1）、w（0）=55棕色（周期1）、w（0）=75深黄色（周期1）。从图8中能够看到，该系统具有大量的吸引子共存现象，并且随着忆阻初值增大，吸引子发生了向上偏移现象。
同样地，取上述相同参数，设y（0）=1，z（0）=1，w（0）=1，选取初值x（0）在区间[-90，0]内变化的分岔图与Lyapunov指数谱如图9所示。从图9（a）中观察到系统由周期态经周期分岔变为混沌态，当x（0）=-29.8时，系统由混沌状态突变为周期状态，随后经倍周期分岔再一次进入混沌状态。选取x（0）=-70、-53、-47、-39、-30时，共存多吸引子y-w平面和y-x-w空间中的相轨图，分别如图10（a）和图10（b）所示。其中不同颜色的运行轨道有着不同的初始条件和不同的动力学行为，分别为：x（0）=-70红色（周期2）、x（0）=-53蓝色（周期4）、x（0）=-47绿色（周期8）、x（0）=-39黑色（混沌）、x（0）=-30浅蓝色（混沌）。图8和图10清晰地揭示了该系统具有大量不同动力学行为的吸引子共存性。
特别地，研究发现随着初值的变化，系统的分岔图发生偏移现象。设置y（0）=1，z（0）=1，w（0）=-11、-12、-13，初值x（0）在区间[-90，0]内变化时，状态变量x的分岔图如图11（a）所示。其中，蓝色轨迹对应初值（x（0），1，1，-11），红色轨迹对应初值（x（0），1，1，-12），绿色轨迹对应初值（x（0），1，1，-13），从图11（a）中可以看到，随着w（0）的减小，分岔图呈现向右偏移现象。同理，设置y（0）=1，z（0）=1，w（0）=25、26、27，初值x（0）在区间[-90，0]内变化时，状态变量x的分岔图如图11（b）所示。蓝色轨迹对应初值（x（0），1，1，25），红色轨迹对应初值（x（0），1，1，26），绿色轨迹对应初值（x（0），1，1，27），从图11（b）中可以看到随着w（0）的增大，分岔图呈现向左偏移现象。因此，系统（3）具有依赖于初始条件的偏移增强现象，也说明该系统具有较强的初值敏感性，证明了该系统具有无穷多共存吸引子现象即超级多稳态现象。
3图像加密
本文图像算法是在文献基础上进行了改进。首先，将原始图像作为参数，为了提高安全性，使用Arnold变化对图像进行置乱，通过对四维忆阻混沌系统进行求解，产生4条混沌序列，然后使用其中2条混沌序列，分别用于2次DNA编码然后进行DNA运算，完成对原始图像的加密，从而生成加密图像。加密的总体框图如图12所示，具体分为以下步骤：
3.1加密算法流程
将大小为M×N的数字图像I作为待加密图像，具体流程如下。
（1）读取图像I利用Arnold变化对图像进行置乱，然后对忆阻混沌系统进行求解，得到4个混沌序列。（2）将得到的4条混沌序列中的第1条和第2条混沌序列用DNA编码，,然后进行运算等方式。主要采用3种运算法则，若Z=0，采用加法运算，若Z=1，采用减法运算，若Z=2使用异或运算。（3）对图像矩阵进行分块编码，首先对原始图像每一个分块按X对应的序号进行编码，其次对R的每一个分块按Y对应的序号进行编码，（4）对上面两个编码好的块按Z对应的序号进行DNA运算，然后运算结果与前一块按Z对应的序号再进行一次运算，最后将每一块合并成完整的密文图像。
3.2解密算法流程
解密过程是加密过程的逆运算，并且须使用加密时用到的密钥才能得到相应的解密图像，正确的解密图像与原始图像应无差别，解密流程如图13所示。
3.3实验结果分析
实验选用lena、Xianlu、Dianlu作为样本图像，其大小为512×512，明文图像与解密后的图像如图14所示。从图中可以看到解密图像与明文图像无任何区别。
3.4直方图分析
3幅图像加密前后的直方图如图15所示。通过分析发现，原始图像的像素值分布比较集中，对暴力破解没有抵抗力，而加密图像的像素值分布在一个固定的范围。打破了像素之前的分布规律，能够很好地抵挡统计攻击。
3.5密钥敏感性
该算法的密钥敏感性很强，当对密钥进行细微的改动时，明文图像无法被重构出来。当对系统的密钥做000000000001的微小变化时，重构的lena图像如图16所示；可见当系统的密钥发生微小变换时，原始图像不能复原，表明该算法具有良好的密钥敏感性。
3.6信息熵分析
信息熵是衡量密码系统强度的标准之一，信息熵的计算公式如式（10）所示：
式中：si为灰度值，L为si的灰度级，p(si)为si出现的概率。
假如图像的像素级是T，则最大信息熵为Hmax=log，当T=256时，Hmax=8为理想值。经计算三幅图的信息熵如表所示，3幅图的信息熵都接近理想值8，说明该算法具有良好的随机性。
4结束语
本文将绝对值忆阻器引入Sprott-I三维混沌系统中，构建了一个新的四维忆阻混沌系统。利用庞加莱截面、相轨图、Lyapunov指数谱等对该系统进行分析。分析结果表明：新系统不仅具有恒Lyapunov指数现象，还具有依赖于初始条件变化的分岔图偏移现象以及超级多稳态现象。并且该系统运用到图像加密中，具有较大的密钥空间，采用一次置乱对图像进行预处理来改变明文图像的像素位置。借助DNA编码完成扩散和加密。该算法充分利用混沌序列特性，提高了加密算法的安全性。从密钥敏感性、直方图、信息熵等方面对该算法进行安全测试，结果表明该算法具有较高的安全性。
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一种具有超级多稳态的忆阻混沌系统及其在电力图像加密中的应用论文
人参与 2024-11-01 11:36:08 分类 : 理学 点这评论 作者：团论文网 来源：https://www.tuanlunwen.com/
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